Derivaten zijn opgenomen in differentiaalvergelijkingen. Ze vertegenwoordigen de mate van verandering van de variabelen. Wanneer de onafhankelijke variabele verandert, moet de bijbehorende verandering in de afhankelijke variabele worden genoteerd. Derivaten duiden deze veranderingssnelheid aan door de helling van de functie in een grafiek te bestuderen.
Differentieel versus afgeleide
Het verschil tussen een differentiaal en een afgeleide is in termen van de functie die elk uitvoert en de waarden die elk vertegenwoordigt. Differentiëlen vertegenwoordigen de kleinste verschillen in hoeveelheden die variabel zijn zoals het gebied van een lichaam. Het maakt de berekening van de relatie tussen de onafhankelijke en afhankelijke variabelen in de vergelijking mogelijk.
Vergelijkingstabel tussen differentieel en derivaat
| Parameters van vergelijking: | differentiëlen | derivaten |
| Definitie | Differentiëlen vertegenwoordigen de kleinste verschillen in hoeveelheden die variabel zijn. | Derivaten vertegenwoordigen de snelheid van verandering van de variabelen in een differentiaalvergelijking. |
| Berekend verschil | Het lineaire verschil wordt berekend. | De helling van de grafiek op een bepaald punt wordt berekend. |
| Relatie | Differentiaalvergelijkingen gebruiken afgeleiden om tot definitieve oplossingen te komen. Derivaten zijn opgenomen in differentiaalvergelijkingen. | Derivaten duiden eenvoudigweg de veranderingssnelheid van de afhankelijke variabele ten opzichte van de onafhankelijke variabele aan. |
| Functionele connotaties | Functionele connotaties tussen variabelen zijn onbekend | Functionele connotaties tussen variabelen zijn bekend. |
| Vertegenwoordigd door | Differentiaalvergelijkingen worden weergegeven door vele formules. Een van de meest gebruikte is: dy/dx = f(x) | Er zijn verschillende graden van afgeleiden met verschillende formules van representatie. De meest gebruikte formule voor een afgeleide is: d /dx |
Wat is een differentieel?
Als een subveld van calculus vertegenwoordigen differentiaalvergelijkingen het oneindig kleine verschil in bepaalde fluctuerende grootheden. Differentiaalvergelijkingen bevatten afgeleiden en hun functies. Differentiëlen meten het lineaire traject van verandering in de afhankelijke variabele als gevolg van het veranderen van de hoeveelheid van de onafhankelijke variabele.
Er zijn verschillende soorten differentiaalvergelijkingen met verschillende volgorden en gradaties van wiskundige complexiteit. Differentiaalvergelijkingen worden gebruikt om de beweging van hittegolven, de verandering in bevolkingsaantallen, het verval van radioactief materiaal, elektriciteitsbeweging, de beweging van een slinger, enz.
In wezen duiden differentiaalvergelijkingen de relatie tussen twee variabelen aan, waarbij de wijziging van de ene variabele wordt veroorzaakt door de verandering die in de andere wordt veroorzaakt. Het is het methodologische hulpmiddel dat wordt gebruikt om de afgeleiden van functies te berekenen. Daarom is het een representatieve vergelijking. Differentiaalvergelijkingen worden vaak weergegeven als:
Waar b de afhankelijke variabele is en a de onafhankelijke variabele.
Wat is een derivaat?
In de eenvoudigste bewoordingen verwijzen derivaten naar de snelheid van verandering in variabelen, wanneer een verandering wordt geregistreerd in de onafhankelijke variabele en een overeenkomstige verandering wordt geproduceerd in de afhankelijke variabele. Daarom benadrukt het de verandering in output als gevolg van een verandering in de inputwaarde.
Derivaten worden het meest gebruikt bij differentiaalvergelijkingen. Differentiatie is het proces dat wordt gebruikt om derivaten te vinden. Ze worden gebruikt om de helling van een raaklijn aan te duiden. Binnen een bepaalde tijdsperiode meten afgeleiden de steilheid van de helling van een functie.
Net als differentiëlen, kunnen derivaten ook worden geclassificeerd als eerste-orde en tweede-orde derivaten. Terwijl de eerste direct kan worden voorspeld uit de helling van de lijn, houdt de laatste rekening met de concaafheid van de grafiek.
Ze vormen een belangrijk onderdeel van wiskundige berekeningen. Vaak wordt de helling weergegeven als:
d/dx
Een afleiding wordt bijvoorbeeld gedefinieerd als de veranderingssnelheid van b ten opzichte van a. Deze relatie wordt uitgedrukt als b= f(a), waarbij b een functie is van a. De waarde van deze functie creëert de helling van f(a). Derivaten worden vaak gebruikt door wetenschappelijke onderzoekers in differentiaalvergelijkingen om de veranderingen in de waarde van variabelen te meten om het gedrag van veranderende systemen bondig te kunnen voorspellen.
Belangrijkste verschillen tussen differentiëlen en derivaten
- Het belangrijkste verschil tussen differentiëlen en afgeleiden is in termen van hun definities die daardoor hun functionaliteit in het wiskundige rijk beïnvloeden. De eerste is een subdomein van calculus dat het oneindig kleine verschil in een fluctuerende hoeveelheid impliceert. Derivaten daarentegen verwijzen naar de wijziging van de uitgangswaarde als gevolg van een overeenkomstige verandering in de ingangswaarde. Het geeft de snelheid van deze verandering aan.
- Differentiaalvergelijkingen bevatten afgeleiden of functies van afleidingen. Terwijl afgeleiden eenvoudigweg verwijzen naar de onmiddellijke verandering die optreedt bij de wijziging van de onafhankelijke variabele die een overeenkomstige verandering in de waarde van de afhankelijke variabele veroorzaakt.
- De functionele connotatie tussen de afhankelijke en onafhankelijke variabelen is bekend in het geval van een afgeleide en onbekend in het geval van een differentiaal. Dit vertegenwoordigt een ander belangrijk verschil tussen de twee wiskundige concepten.
- De formules van een differentiaal- en afgeleide vergelijking zijn ook significant verschillend. dy/dx = f(x) vertegenwoordigt de eerste, waarbij y de afhankelijke variabele is en x de onafhankelijke variabele. Derivaten worden weergegeven door d/dx.
- Differentiëlen vertegenwoordigen de werkelijke waardeverandering via een lineaire kaart, terwijl afgeleiden dezelfde verandering vertegenwoordigen via een hellingskaart. Derivaten berekenen de helling van een functie in de grafiek op een bepaald tijdstip.
Gevolgtrekking
Zowel differentiëlen als afgeleiden zijn baanbrekende wiskundige concepten die onmisbaar zijn bij de toepassing en studie van complexe wiskundige problemen. Ze worden beide vaak in combinatie met elkaar gebruikt en kunnen vaak verkeerd worden geïnterpreteerd als hun betekenis of functies onduidelijk blijven.
De verschillen tussen de twee concepten zijn minimaal, maar tegelijkertijd belangrijk om te weten. De twee concepten verschillen in termen van hun implementatie en gebruik in vergelijkingen. Hoewel een differentiaalvergelijking afgeleiden of functies van afgeleiden bevat, zijn afgeleiden de maatstaf voor onmiddellijke verandering die optreedt in een afhankelijke variabele die wordt geactiveerd door een overeenkomstige verandering in de onafhankelijke variabele.
Differentiëlen zijn representatief voor de relatie die bestaat tussen twee variabelen. Ze gebruiken afgeleiden om deze relatie duidelijk te definiëren en oneindig kleine veranderingen te meten.
De weergave van elk verschilt aanzienlijk. Bovendien brengen differentiëlen veranderingen in reële waarde in kaart door middel van lineaire mapping, terwijl derivaten de helling van verandering in kaart brengen. Elk concept belichaamt ook belangrijke variabele vormen.
Referenties
- https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
- https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195
